区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部， 以此类推，这些区间的长度组成一个 无穷数列，如果数列的极限趋近于0，则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。
区间套定理的内容是什么？
先定义什么是区间套：
设闭区间列{ [an, bn] } 具有如下性质：
① [an, bn]包含[an+1,bn+1 ], n=1,2,...; (其中的意思是[an+1,bn+1 ]是[an, bn]的子集)
② lim (bn-an)=0 (n→∞)，
则称{ [an, bn] } 为闭区间套，或简称区间套。
下面是区间套定理：
若{ [an, bn] } 是一个区间套，则在实数R中存在唯一的点ξ，使得ξ∈[an, bn]，n=1,2,..., 即 an≤ξ≤bn, n=1,2,...
注：这个定理实际上表明了实数的完备性，实数是连续地充满整个数直线而没有间隙，而有理数就不具备这个性质。
什么是区间套定理？
什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）
区间套原理
分两步,第一步套出一个数,第二步证明这个数就是上确界.
①对于数集X,如果它有上界M,就构造闭区间列U[n],U[1]=[a[1],M],a[1]是任意一个数,只要使得U[1]∩X≠∅就可以.U[2]这样构造,如果(a[1]+M)/2到M之间有X中的数,就令U[2]=[(a[1]+M)/2,M]否则等于[a[1],(a[1]+M)/2].U[3]构造类似,就是再把U[2]一分为二,右半边如果有X中的数就等于右半区间,否则等于左半区间.就这样一直构造下去,所有的U[n]都是递减区间列,根据闭区间套定理,它们必有一个公共元素m.
②要证m就是X的上确界.下面分类讨论.
1)先说如果m就是集合X中的元素,那么假设X中还有比m大的m',上述构造方法总会到最后总会有一个集合U[i]不包含m的,和m是公共元素矛盾了.这个比较好证明,就不写具体过程了.这样m在X中,而且X中还没有比m更大的数,显然m是X中的最大数,自然是上确界（根据上确界定义可知）.
2)m不在X中.先证明m任意小邻域里面有X中的数.还是反证法,假设可以找到一个δ>0,使得[m-δ,m+δ]里面没有X中的数,那由于区间U[n]长度可以任意小,只要n足够大.所以总能找到一个U[j]使得U[j]长度小于δ,但所有U都包含m,于是U[j]包含于[m-δ,m+δ]中,但是[m-δ,m+δ]中没有X中元素,意思是U[j]里面就没有X中元素,和一开始约定的U[n]构造规则矛盾,所以m任意邻域都有X中数.再证X中的数不可能比m大.还是反证法,和1)完全类似,就不写了.
根据上确界的定义,m是X的上确界,就找到了.
哪位朋友知道区间套定理是什么？谢谢！
你是否要的这个？
区间套定理
ZT
下面给出一个有关区间套的定理。
记得我们曾经用有理区间套来定义实数，那种方式直观但不尽完美。现在很高兴可以在我们新的实数理论中，证明与区间套有关的结论。我们将看到，这个区间套定理只是确界定理的一个应用而已。
[定理]
区间套定理
设{[An,
Bn]
|
n=1,2,…}是一串闭区间，且满足条件[An,
Bn]Ê[An+1,
Bn+1]
(n=1,2,…)，则
∩[An,
Bn]
¹Æ
(n=1,2,…)
证明：由假设对每个自然数n，都有[An,
Bn]Ê[An+1,
Bn+1]，所以当自然数n£m时，有[An,
Bn]
Ê[Am,
Bm]，即有An
£
Am
£
Bm
£
Bn。由此就有An£Bm和Am£Bn。因此，不等式An£Bm对于任意的自然数都成立。于是集合A={A1,A2,…,An,…}是有上界的，因为每个Bm都是它的上界。根据上确界定理，集合A有上确界X0。因此对每个自然数n，由AnÎA，有An£X0。又因为对于每个自然数n，Bn都是A的上界，因此X0£Bn。所以对于每个自然数n，都有An£X0£Bn，即X0Î[An,
Bn]，故X0Î∩[An,
Bn]，从而有
∩[An,
Bn]¹Æ。证毕。
顺便指出，上述定理并不要求对于每个闭区间[An,
Bn]，有Bn>An。只要求Bn³An就可以了（当然，如果存在自然数k，使得Bk=Ak
(=X0)，那么此后所有的区间都只包含一个实数，且∩[An,
Bn]={X0}）。另外，若上面的区间套数量是有限的，显然定理也是成立的。
这个区间套定理也让我们产生这样一个问题：在什么情况下，∩[An,
Bn]只包含一个实数？根据以前的经验，我们可能这样猜想：若区间[An,
Bn]的“长度”趋向于零，那么∩[An,
Bn]将包含唯一的实数。但是，我们这个实数理论中，目前还尚无“距离”的概念。因此我们要另外考虑。在上面定理的证明过程中我们看到，A有上确界X0。与此类似，设B={B1,B2,…,Bn,…}，那么B有下确界Y0。我们可能已经想到了，∩[An,
Bn]包含唯一实数的充分必要条件是X0=Y0。下面给出证明。
[命题]
设{[An,
Bn]
|
n=1,2,…}是闭区间套，[An,
Bn]Ê[An+1,
Bn+1]
(n=1,2,…)。
另设A={A1,A2,…,An,…}，有上确界X0；B={B1,B2,…,Bn,…}，有下确界Y0。那么∩[An,
Bn]包含唯一实数的充分必要条件是X0=Y0。
证明：先证必要性。设∩[An,
Bn]包含唯一的实数，那么根据区间套定理的证明，A={A1,A2,…,An,…}的上确界X0Î∩[An,
Bn]。同理可证Y0Î∩[An,
Bn]。但已知∩[An,
Bn]只包含一个实数，因此X0=Y0。
再证充分性。因为”XÎ∩[An,
Bn]，有An
£X£
Bn，对于任意的自然数n都成立。因此X是A={A1,A2,…,An,…}的上界。由于X0是A的上确界，所以X0£X。类似地，因为X是B={B1,B2,…,Bn,…}的下界，所以X£
Y0。这样就有X0£X£Y0。但已知X0=Y0，所以满足条件的X只有一个（X=X0=Y0），即∩[An,
Bn]只包含一个实数。证毕。
什么是区间套定理？怎么证明？
什么是闭区间：数轴上任意两点和这两点间所有点组成的线段为一个闭区间。
闭区间套定理：有无穷个闭区间，第二个闭区间被包含在第一个区间内部，第三个被包含在第二个内部，以此类推（后一个线段会被包含在前一个线段里面），这些区间的长度组成一个无穷数列，如果数列的极限趋近于0（即这些线段的长度最终会趋近于0），则这些区间的左端点最终会趋近于右端点，即左右端点收敛于数轴上唯一一点，而且这个点是此这些区间的唯一公共点。（开区间同理）
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