不仅是一个矢量。而且和矢量的拉普拉斯算符不一样，这里出现了很多交叉项。所以即使有含这个的公式，分离变量求解起来也会很困难吧。矢量散度的梯度也不是没有出现过，在电磁波的推导时， 是出现这一项的，因为规范不变性造成的解的任意性，可以取一个特定的规范，特定规范的选取还有一个作用，就是可以消去散度的梯度，保证方程的易于求解。
解释下“梯度”“散度”和“旋度”，浅显易懂些，谢谢
梯度是矢量，其大小为该点函数的最大变化率，即该点的最大方向导数。
梯度的方向为该点最大方向导数的方向，即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数增加的方向。
三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为（P，Q，R）。注意，由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和R的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说P、Q和R中每一个都是x、y和z的函数。
对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为（P，Q，R）进行以下操作：
1、求出dP/dx＋dQ/dy＋dR/dz的值，其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，其余雷同；
2、将这个值赋予这个点
对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence)，这种运算就叫做“对矢量场取散度”。
旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从斯托克斯公式里理解
旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场。
旋度计算是两个向量之间的“叉乘”，其结果是矢量。其方向满足右手法则。
请解释梯度、旋度和散度的几何、物理意义
设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的 梯度 ，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。 梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量 (δf/x)*i+(δf/y)*j 这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y) 类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)] 梯度本意是一个向量（矢量），当某一函数在某点处沿着该方向的方向导数取得该点出的最大值，即函数在该点处沿方向变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。 旋度的数学定义设有向量场 A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 在坐标轴上的投影分别为 δR/δy - δQ/δz ，δP/δz - δR/δx ，δQ/δx - δP/δy 的向量叫做向量场A的旋度，记作 rot A 或 curl A ，即 rot A= (δR/δy - δQ/δz )i+(δP/δz - δR/δx )j+(δQ/δx - δP/δy)k 式中的 δ 为偏微分（partial derivative）符号。 行列式记号 旋度rot A的表达式可以用行列式记号形式表示： 若A=Ax·i+Ay·j， 则rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j 若A=Ax·i+Ay·j+Az·k 则rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k 为一向量。 旋度的物理意义 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积也将逐渐减小.一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则,旋度的重要性在于，可用通过研究表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度,进而得到其单位面积平均环流的极限的大小程度。 散度的概念 div F=▽·F 在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的体积ΔV以任何方式趋近于0时，则比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度，并记作div F 由散度的定义可知，div F 表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F 描述了通量源的密度。 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源；当div =0，表示该点为无源场。 静电场的散度不为零、旋度为零，表明了它是有源无旋场。 静磁场的散度为零、旋度不为零，表明了他是有旋无源场。 散度可以表示流体运动时单位体积的改变率
梯度、散度、旋度有什么区别？
散度、梯度、旋度公式分别如下：
梯度定义为：∇f=∂f∂xi→+∂f∂yj→+∂f∂zk→=∂f∂xie→i.
散度定义为：divF|x0=limV→01|V|∬S⊂⊃ F⋅n^dS
旋度与环量(circulation)联系紧密，其定义为：(∇×F)(p)⋅n^= def limA→0(1|A|∮CF⋅dr)
散度（divergence）可用于表征空间各点矢量场发散的强弱程度，物理上，散度的意义是场的有源性。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源（发散源）；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源（洞或汇）；当div F=0，表示该点的矢量场场线没有发出也没有汇聚
梯度的本意是一个向量（矢量），表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值，即函数在该点处沿着该方向（此梯度的方向）变化最快，变化率最大（为该梯度的模）。
旋度是向量分析中的一个向量算子，可以表示三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。 这个向量提供了向量场在这一点的旋转性质。旋度向量的方向表示向量场在这一点附近旋转度最大的环量的旋转轴，它和向量旋转的方向满足右手定则。旋度向量的大小则是绕着这个旋转轴旋转的环量与旋转路径围成的面元的面积之比。
散度梯度旋度的关系和应用 ？？
关系：
三者转换关系：
散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。 其计算也就是我们常说的“点乘”。 散度是标量，物理意义为通量源密度。
散度物理意义：对流体来说，就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。如下式
梯度物理意义：最大方向导数（速度）
散度物理意义：对流体来说，散度指流体运动时单位体积的改变率。就是流体的形状虽然改变，但是由于散度为0，则其面积或体积不变。
旋度物理意义：旋度是曲线，向量场旋转的程度。矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。
扩展资料散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）
若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负).
一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯.
参考资料来源：百度百科-散度
参考资料来源：百度百科-梯度
参考资料来源：百度百科-旋度
梯度散度旋度的物理含义
我们一个一个说：
首先是梯度：
定义：在标量场f中的一点处存在一个矢量G，该矢量方向为f在该点处变化率最大的方向，其模也等于这个最大变化率的数值，则矢量G称为标量场f的梯度。
如果设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
其次是散度：
定义：div F=▽·F
在矢量场F中的任一点M处作一个包围该点的任意闭合曲面S，当S所限定的区域直径趋近于0时，比值∮F·dS/ΔV的极限称为矢量场F在点M处的散度。
由散度的定义可知，div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。 散度可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源；当div =0，表示该点为无源场。
最后是旋度：
定义：面元与所指矢量场f之矢量积对一个闭合面S的积分除以该闭合面所包容的体积之商，当该体积所有尺寸趋于无穷小时极限的一个矢量。
设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么以闭合曲线L为界的面积也将逐渐减小.一般说来，这两者的比值有一极限值，记作即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向且通常L的正方向与规定要构成右手螺旋法则。
旋度的重要性在于，可用通过研究表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度,进而得到其单位面积平均环流的极限的大小程度。
最后总结一下，梯度表征的是某点标量的变化率；散度表征的是某点通量的密集程度，可以理解为场线的密集程度；旋度表征的是某点附近发现上的环流强弱程度。
标量场的梯度和矢量场的散度都是什么意思啊？物理意义是什么啊？
若在标量场f(P)中某点P处，存在这样的矢量G，其方向为函数f(P)在P点处变化率最大的方向，其模是这个最大变化率的数值，则称矢量G为函数f（P）在点P处的梯度；
散度简单地说是矢量场在空间某点聚散性的量度。
散度的物理意义
简单来说散度就是密度。密表示聚集的意思，散表示分开的意思，二者意思本来是相反的。
下边U可理解为电压，E可理解为电场强度。
以三维空间为例，梯度算符∇带有三个方向的偏导，且需要把方向i,j,k写在偏导旁边，因此梯度算符本身有向量的特征。梯度算符作用于标量势函数U(x,y,z)将会得到一个向量场函数E(x,y,z)，这个向量场函数类比于梯度向量场函数。
电场E实际对应电荷面密度，但E是个向量，方向为此处测试正电荷的受力方向。
梯度算符∇点积作用于一个向量场函数E(x,y,z)，得到的标量叫散度。若把E理解为电场强度，此时散度可对应电荷体密度，电荷体密度是个标量。
假设当前环境存在涡旋电场E(x,y,z)。则梯度算符叉积作用于向量场E(x,y,z)，得到旋度。旋度是个向量，它实际对应单位面积的环量。旋度点积一个向量面元得到一个标量(这个向量面元的方向取面元法向)，这个标量即为当前面元上的环量。
用涡旋电场举例有点不妥。改用磁场向量H举例。电生磁：I=环路积分∫H·dl=面积分∫∇×H·dA。环路积分∫H·dl所得结果叫环量。旋度叉积作用于磁场H得到一个旋度向量，旋度向量是什么呢？这个旋度向量是单位面积的磁场环量。
单位面积的磁场环量怎么计算呢？磁场H是个向量，H的环路积分得到一个标量，用这个标量除以环路对应的面积S(S是个向量)，则得到单位面积的环量，这个单位面积的环量即为旋度。
矢量有梯度的吗？工程电磁场电磁波丁君版2-28答案不明...求大神解救
标量才有梯度。梯度是矢量，其方向为标量场变化率最大方向，大小为标量场最大变化率。
计算方法是▽φ
题目中是点乘，求的是散度。没看到哪里对矢量求了梯度。
矢量才能求散度，矢量场的散度是个标量。
没看到完整的题目，后面两个问题不好解答。我估计这是个球形分布的电荷产生的场，在球体内部有电荷存在，所以E的散度不为零。而在球外部，因为没有电荷，所以E的散度为零。
E的散度是定义在点上的，如果这一点有电荷分布，E就有散度，如果没有电荷，E的散度就为零。
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