已知某量求另一个量的对应公式。电荷密度在实际中都是未知量。如果都知道电荷密度，那求电场就变成了简单的积分问题。所以实际上比较容易的路径是求解Laplace方程，研究势函数总比直接算场函数要简单些。也有人直接从电荷积分公式出发来解积分方程的，这个一般被叫做矩量法，未知量是电荷密度函数，已知量是导体的电位，而这一般只用来处理那类无法解析的问题。
物理或化学方程为什么往往是偏微分方程？
常微分方程（组）描述的是n维动力学空间中的一个点随着时间变化而演化形成的一个轨迹。
偏微分方程（组）描述的是一个n维动力学空间所描述的一个曲线、曲面、超曲面随着时间变化而演化产生的一个变化过程。
常微分方程组的各个变量都可以看做是其自身的函数，偏微分方程组所描述的则是多变量的函数的变化。因此常微分方程是偏微分方程的一个简单的特例。
物理化学方程往往描述的是“状态”与“时间”的关系，任何方程中，时间都是一样的，那么关键之处就在于“状态”上了。“状态”的形式，决定了到底是常微分方程还是偏微分方程。
常微分方程：是描述“有限维自由度”的状态随时间变化的规律。
偏微分方程：描述“连续系统”的状态随时间变化的规律。
为什么物理、化学方程常用PDE呢？因为我们研究一个具体的物体的时候，关注的东西是一个多个变量的函数的变化。比如琴弦，我们关注的东西是它作为一个整体在各处振动起来的高或低的分布情形，而不仅仅关注弦上的一个点的运动，它是时间和位置的函数，所以我们用PDE来描述这个东西所对应的动力学空间中的一个曲线的变化（一个空间的维度，一个时间的维度）。还比如二维的反应扩散系统中的图灵斑图，我们现在关注的是某种化学物质在各处的浓度作为一个整体呈现给我们的在一个面上的分布样子（有些地方浓度高，有些地方浓度低，整体的分布呈现一定的规律）；因此我们用PDE来描述这个动力学空间中的曲面的变化，它在空间上需要两个维度，时间上需要一个维度。
偏微分方程是什么？
偏微分方程的起源
如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。
在科学技术日新月异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经显得不够了，不少问题有多个变量的函数来描述。比如，从物理角度来说，物理量有不同的性质，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速度、电场的引力等，不仅在数值上有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做张量，等等。这些量不仅和时间有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的函数来表示。
应该指出，对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数表示，只能是理想化的，如介质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想了的多个变量的函数方程，这种方程就是偏微分方程。
微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。
偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》，在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。
偏微分方程的内容
偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以介绍。
弦振动是一种机械运动，当然机械运动的基本定律是质点力学的 F=ma，但是弦并不是质点，所以质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。然而，如果我们把弦细细地分成若干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以应用质点力学的基本定律了。
弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦就是细长的、柔软的、带有弹性的。演奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。当演奏的人用薄片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所接触的一段弦振动，但是由于张力的作用，传播到使整个弦振动起来。
用微分的方法分析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和时间为自变量的偏微分方程。偏方程又很多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程。上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的波动方程，也就是双曲型偏微分方程。
偏微分方程的解一般有无穷多个，但是解决具体的物理问题的时候，必须从中选取所需要的解，因此，还必须知道附加条件。因为偏微分方程是同一类现象的共同规律的表示式，仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具体问题的特殊性，所以就物理现象来说，各个具体问题的特殊性就在于研究对象所处的特定条件，就是初始条件和边界条件。
拿上面所举的弦振动的例子来说，对于同样的弦的弦乐器，如果一种是以薄片拨动弦，另一种是以弓在弦上拉动，那么它们发出的声音是不同的。原因就是由于“拨动”或“拉动”的那个“初始”时刻的振动情况不同，因此产生后来的振动情况也就不同。
天文学中也有类似情况，如果要通过计算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量，同时除了牛顿定律的一般公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，就是在某个起始时间，这些天体的分布以及它们的速度。在解决任何数学物理方程的时候，总会有类似的附加条件。
就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，所以在弦的两端必须给出边界条件，也就是考虑研究对象所处的边界上的物理状况。边界条件也叫做边值问题。
当然，客观实际中也还是有“没有初始条件的问题”，如定场问题（静电场、稳定浓度分布、稳定温度分布等），也有“没有边界条件的问题”，如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象的成为无边界的弦了。
在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身是表达同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，它提出了问题的具体情况。方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。
求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。但是一般来说，在实际中通解是不容易求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。
偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫做傅立叶变换或傅立叶积分。分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的定解。对方程实行拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解出常微分方程后进行反演就可以了。
应该指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽视由于某些原因有许多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出满足实际需要的近似程度的近似解。
常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。
随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。
其它数学分支学科
算术、初等代数、高等代数、数论、欧式几何、非欧几何、解析几何、微分几何、代数几何学、射影几何学、拓扑学、分形几何、微积分学、实变函数论、概率和数理统计、复变函数论、泛函分析、偏微分方程、常微分方程、数理逻辑、模糊数学、运筹学、计算数学、突变理论、数学物理学
电势能大小的判断
电势能大小的判断方法有场源电荷判断法、电场线法、做功判断法。
1、场源电荷判断法
离场源正电荷越近，试探正电荷的电势能越大，试探负电荷的电势能越小。
2、电场线法
正电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小，逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大。负电荷顺着电场线的方向移动时，电势能逐渐增大，逆着电场线的方向移动时，电势能逐渐减小。
3、做功判断法
无论正负电荷，电场力做正功，电荷的电势能就一定减小，电场力做负功，电荷的电势能就一定增加。零势能处可任意选择，但在理论研究中，常取无限远处或大地的电势能为0。
电势能的作用
电势能是一种用来衡量电势的物理量。它通常用来描述电荷的能量状态，并且决定了它们相互之间的作用力。电势是在不同位置的一种受力，因此它有着影响电子在空间上的运动的重要作用。
电势能可以在能量方面或是张量术语中定义。在能量方面，电势能指的是一个定义电荷能量状态的局部值，使得电荷能够处于不同潜在能量中，并以不同的位置。在张量术语中，电势能可以被定义为偏微分方程的未知因子，用来推导电压的大小和范围。张量概念还可以用来表征把来自不同电荷的电信号混合在一起。
电势能还可以在物理现象中发挥用武之地。比如，它可以确定电荷在空间当中的分布，也可以衡量电荷之间相互作用的能量差。其实，电势能不仅仅用于描述引力和力学系统，也可以应用于光学、声学和热学系统中，以及其他物理现象。此外，电势能是光照和仪器定位的基础，是无线信号传播的根本原理，也是太阳能受电的动力源。
总的来说，电势能是一种物理量，它描述了电荷和电场的能量状态，而且它们各自受到的电势决定了电子间的交互作用力。它的应用广泛，具有重要的意义，至今，它依然被研究与利用。
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