平稳序列是指在随机过程理论中,联合概率分布函数不随时间改变的随机序列。平稳序列的平稳性主要体现在均值不变、方差有限。它还有周期性、序列相关性等性质。一般来讲,获取平稳序列的办法是:将时间序列的趋势项和季节项都去掉。只留下随机项。
平稳随机序列
在信息处理与传输中,经常遇到一类称为平稳随机序列的重要信号。所谓平稳随机序列,是指它的N维概率分布函数或N维概率密度函数与时间n的起始位置无关。换句话说,平稳随机序列的统计特性不随时间的平移而发生变化。如果将随机序列在时间上平移k,其统计特性满足等式:
地球物理信息处理基础
这类随机序列就称为平稳随机序列。然而,在实际情况中,这一平稳条件很难得到满足,因此常将这类随机序列称为狭义(严)平稳随机序列。大多数情况下,虽然随机序列并不是平稳随机序列,但是它们的均值和均方值却不随时间而改变,其相关函数仅是时间差的函数,一般将这一类随机序列称为广义(宽)平稳随机序列。下面我们重点分析研究这类平稳随机序列。为简单起见,将广义平稳随机序列简称为平稳随机序列。
平稳随机序列的一维概率密度函数与时间无关,因此均值、方差和均方值均与时间无关,它们可分别表示为
μx=E[X(n)]=E[X(n+m)] (1-17)
地球物理信息处理基础
二维概率密度函数仅仅取决于时间差,与起始时间无关;自相关函数与自协方差函数是时间差的函数。自相关函数rxx(m)与自协方差函数cxx(m)(用cxx(m)表示covxx(m))分别为
rxx(m)=E[X(n+m)X*(n)] (1-20)
cxx(m)=E{[X(n+m)-μx][X(n)-μx]*} (1-21)
对于两个各自平稳而且联合平稳的随机序列,其互相关函数为
rxy(m)=rxy(n+m,n)=E[X(n+m)Y*(n)] (1-22)
显然,对于自相关函数和互相关函数,下面公式成立
地球物理信息处理基础
如果对于所有的m,满足rxy(m)=0,则称两个随机序列互为正交。如果对于所有的m,满足rxy(m)=μxμy,cxy(m)=0,则称两个随机序列互不相关。
实平稳随机序列的相关函数、协方差函数具有以下重要性质
(1)自相关函数和自协方差函数是m的偶函数,即
rxx(m)=rxx(-m),cxx(m)=cxx(-m) (1-25)
而互相关函数和互协方差函数有如下关系
rxy(m)=ryx(-m),cxy(m)=cyx(-m) (1-26)
(2)rxx(0)在数值上等于随机序列的平均功率,即
地球物理信息处理基础
(3)
rxx(0)≥|rxx(m)| (1-28)
(4)
地球物理信息处理基础
(5)
上两式说明大多数平稳随机序列内部的相关性随着时间差的变大,愈来愈弱。
(6)
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什么是平稳的时间序列
问题一:如何深入理解时间序列分析中的平稳性 声明:本文中所有引用部分,如非特别说明,皆引自Time Series Analysis with Applications in R.
接触时间序列分析才半年,尽力回答。如果回答有误,欢迎指出。
对第一个问题,我们把它拆分成以下两个问题:
Why stationary?(为何要平稳?)
Why weak stationary?(为何弱平稳?)
Why stationary?(为何要平稳?)
每一个统计学问题,我们都需要对其先做一些基本假设。如在一元线性回归中(),我们要假设:①不相关且非随机(是固定值或当做已知)②独立同分布服从正态分布(均值为0,方差恒定)。
在时间序列分析中,我们考虑了很多合理且可以简化问题的假设。而其中最重要的假设就是平稳。
The basic idea of stationarity is that the probability laws that govern the behavior of the process do not change over time.
平稳的基本思想是:时间序列的行为并不随时间改变。
正因此,我们定义了两种平稳:
Strict stationarity: A time series {} is said to be strictly stationary if the joint distribution of ,, ・ ・ ・, is the same as that of,, ・ ・ ・ ,for all choices of natural number n, all choices of time points ,, ・ ・ ・ , and all choices of time lag k.
强平稳过程:对于所有可能的n,所有可能的,, ・ ・ ・ , 和所有可能的k,当,, ・ ・ ・,的联合分布与,, ・ ・ ・ ,相同时,我们称其强平稳。
Weak stationarity: A time series {} is said to be weakly (second-order, or co-variance) stationary if:
① the mean function is constant over time, and
② γ(t, t ? k) = γ(0, k) for all times t and lags k.
弱平稳过程:当①均值函数是常数函数且②协方差函数仅与时间差相关,我们才称其为弱平稳。
此时我们转到第二个问题:Why weak stationary?(为何弱平稳?)
我们先来说说两种平稳的差别:
两种平稳过程并没有包含关系,即弱平稳不一定是强平稳,强平稳也不一定是弱平稳。
一方面,虽然看上去强平稳的要求好像比弱平稳强,但强平稳并不一定是弱平稳,因为其矩不一定存在。
例子:{}独立服从柯西分布。{}是强平稳,但由于柯西分布期望与方差不存在,所以不是弱平稳。(之所以不存在是因为其并非绝对可积。)
另一方面,弱平稳也不一定是强平稳,因为二阶矩性质并不能确定分布的性质。
例子:,,互相独立。这是弱平稳却不是强平稳。
知道了这些造成差别的根本原因后,我们也可以写出两者的一些联系:
一阶矩和二阶矩存在时,强平稳过程是弱平稳过程。(条件可简化为二阶矩存在,因为)
当联合分布服从多元正态分布时,两平稳过程等价。(多元正态分布的二阶矩可确定分布性质)
而为什么用弱平稳而非强平稳,主要原因是:强平稳条件太强......>>
问题二:什么是平稳时间序列,能举个生活中的平稳时间序列的例 “平稳时间序列”是天文学专有名词。来自 中国天文学名词审定委员会审定发布的天 文学专有名词中文译名,词条译名和中英 文解释数据版权由天文学名词委所有。
中文译名平稳时间序列
英文原名/注释stationarytime series :小波消噪与时间序列分析方 法在预测领域中应用十分广泛,但是在降 雨量的预测中应用不多。在基于小波消 噪的基础上应用时间序列中平稳时间学 列方法对降雨量进行预测,结果显示,应用 该方法有效地提高了降雨量的预测精 度。用丹东地区1971-2006年的降雨量作 为历史数据,建立降雨量预测模型,结果表 明新模型算法简单、精度较高,比传统的 拓扑预测模型效果更好,为降雨量预测提 供了一种行之有效的方法
问题三:平稳时间序列和非平稳时间序列的区别 要对非平稳时间序列 进行平稳化处理 有利于资源的合理利用
问题四:检验时间序列平稳性的方法有哪两种 1、 时间序列 取自某一个随机过程,如果此随机过程的随机特征不随时间变化,则我们称过程是平稳的;假如该随机过程的随机特征随时间变化,则称过程是非平稳的。 2、 宽平稳时间序列的定义:设时间序列 ,对于任意的 , 和 ,满足: 则称 宽平稳。 3、Box-Jenkins方法是一种理论较为完善的统计预测方法。他们的工作为实际工作者提供了对时间序列进行分析、预测,以及对ARMA模型识别、估计和诊断的系统方法。使ARMA模型的建立有了一套完整、正规、结构化的建模方法,并且具有统计上的完善性和牢固的理论基础。 4、ARMA模型三种基本形式:自回归模型(AR:Auto-regressive),移动平均模型(MA:Moving-Average)和混合模型(ARMA:Auto-regressive Moving-Average)。 (1) 自回归模型AR(p):如果时间序列 满足 其中 是独立同分布的随机变量序列,且满足: , 则称时间序列 服从p阶自回归模型。或者记为 。 平稳条件:滞后算子多项式 的根均在单位圆外,即 的根大于1。 (2) 移动平均模型MA(q):如果时间序列 满足 则称时间序列 服从q阶移动平均模型。或者记为 。 平稳条件:任何条件下都平稳。 (3) ARMA(p,q)模型:如果时间序列 满足 则称时间序列 服从(p,q)阶自回归移动平均模型。或者记为 。 特殊情况:q=0,模型即为AR(p),p=0, 模型即为MA(q)。 二、时间序列的自相关分析 1、自相关分析法是进行时间序列分析的有效方法,它简单易行、较为直观,根据绘制的自相关分析图和偏自相关分析图,我们可以初步地识别平稳序列的模型类型和模型阶数。利用自相关分析法可以测定时间序列的随机性和平稳性,以及时间序列的季节性。 2、自相关函数的定义:滞后期为k的自协方差函数为: ,则 的自相关函数为: ,其中 。当序列平稳时,自相关函数可写为: 。 3、 样本自相关函数为: ,其中 ,它可以说明不同时期的数据之间的相关程度,其取值范围在-1到1之间,值越接近于1,说明时间序列的自相关程度越高。 4、 样本的偏自相关函数: 其中, 。 5、 时间序列的随机性,是指时间序列各项之间没有相关关系的特征。使用自相关分析图判断时间序列的随机性,一般给出如下准则: ①若时间序列的自相关函数基本上都落入置信区间,则该时间序列具有随机性; ②若较多自相关函数落在置信区间之外,则认为该时间序列不具有随机性。 6、 判断时间序列是否平稳,是一项很重要的工作。运用自相关分析图判定时间序列平稳性的准则是:①若时间序列的自相关函数 在k>3时都落入置信区间,且逐渐趋于零,则该时间序列具有平稳性;②若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面,则该时间序列就不具有平稳性。 7、 ARMA模型的自相关分析 AR(p)模型的偏自相关函数 是以p步截尾的,自相关函数拖尾。MA(q)模型的自相关函数具有q步截尾性,偏自相关函数拖尾。这两个性质可以分别用来识别自回归模型和移动平均模型的阶数。ARMA(p,q)模型的自相关函数和偏相关函数都是拖尾的。 三、单位根检验和协整检验 1、单位根检验 ①利用迪基―福勒检验( Dickey-Fuller Test)和菲利普斯―佩荣检验(Philips-Perron Test),我们也可以测定时间序列的随机性,这是在计量经济学中非常重要的两种单位根检验方法,与前者不同的事,后一个检验方法主要应用于一阶自回归模......>>
问题五:如果时间序列平稳,那该做什么检验 我们计算自相关系数,如果有18组数据,则有17个自相关系数的数据,如果时间序列是平稳的,那么服从一个正态分布。所以我们根据每一个自相关系数的值,对应置位区间即可。
也可检验对所有k>0,自相关系数都为0的联合假设,这可通过如下QLB统计量进行
该统计量近似地服从自由度为m的c2分布(m为滞后长度)。因此:如果计算的Q值大于显著性水平为a的临界值,则有1-a的把握拒绝所有rk(k>0)同时为0的假设。
注意利用QLB统计量,原假设是平稳的,根据最大的滞后项来判断即可。
什么是平稳时间序列,能举个生活中的平稳时间序列的例
“平稳时间序列”是天文学专有名词。来自 中国天文学名词审定委员会审定发布的天 文学专有名词中文译名,词条译名和中英 文解释数据版权由天文学名词委所有。
中文译名平稳时间序列
英文原名/注释stationarytime series :小波消噪与时间序列分析方 法在预测领域中应用十分广泛,但是在降 雨量的预测中应用不多。在基于小波消 噪的基础上应用时间序列中平稳时间学 列方法对降雨量进行预测,结果显示,应用 该方法有效地提高了降雨量的预测精 度。用丹东地区1971-2006年的降雨量作 为历史数据,建立降雨量预测模型,结果表 明新模型算法简单、精度较高,比传统的 拓扑预测模型效果更好,为降雨量预测提 供了一种行之有效的方法
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