施密特正交化是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组出发，求得正交向量组，再将正交向量组中每个向量经过单位化，得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。
矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值。
施密特正交化与特征向量的问题
P被改变了!
P原来是可逆矩阵, 被改变成正交矩阵Q.
首先, 正交化是在属于同一个特征值的线性无关的特征向量之间进行的
由正交化过程知道, 向量组正交化后得到的向量组与之前的向量组等价
而属于同一个特征值的特征向量的非零线性组合仍是此特征值的特征向量
故正交化后仍是属于同一个特征值的特征向量.
其次. 特征向量单位化后仍是属于同一个特征值的特征向量.
注意上面的措词, 正交化单位化后仍是属于同一个特征值的特征向量
所以 仍然有 Q^-1AQ = P^-1AP 即原对角矩阵.
施密特正交化？
特征值无重根，特征向量自然正交，不需正交化。
特征值有重根时，重根对应的特征向量一般不正交，要求正交变换时需要正交化。
如果你能对重特征值注意求出的正交的特征向量，就可避免正交化， 但求出本身不易。
实对称矩阵A的特征向量 是只对重根进行施密特正交化吗？
实对阵矩阵，其不同特征值对应的特征向量是自然正交的，所以，不需要通过施密特正交法来正交化，而只需要对重根对应的特征向量正交化。
引申一下
不同特征值对应的特征向量相互正交，是实对称矩阵的一个重要属性，而且从这个属性出发可以证明实对称矩阵的另一个属性：实对称矩阵必可相似对角化。对于一个 n 维矩阵，其可相似对角化的充分且必要条件是——具有 n 个线性无关的特征向量。如果一个 n 维矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交，那么这个矩阵不同特征值对应的特征向量之间线性无关，即该矩阵具有 n 个线性无关的特征向量，则该矩阵可相似对角化。所以，实对称矩阵必可相似对角化。
对称矩阵相似对角化，对特征向量进行施密特正交化及单位后的向量，该向量还会是原对称矩阵的特征向量吗？
是的，对于实对称矩阵而言Gram-Schmidt正交化不会破坏特征向量
首先你要知道实对称矩阵关于不同特征值的特征向量是相互正交的，所以在正交化过程中这一角度不会改变
然后对于重特征值而言，其特征向量经过线性组合之后仍然是同一个特征值对应的特征向量（只要这个向量非零），正交化过程相当于给特征子空间找一组标准正交基
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