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计算半径为 r(>0) 的圆Cʳ上，弧度为θ的圆心角对应的弧长s是非常简单的事情，
由于，Cʳ的周长2πr实际上是弧度为2π的圆心角对应的弧长，所以得到，s=2πr⋅θ/2π=rθ。
但是，若R处于流形中，我们又该如何计算呢？
任意维度的欧氏空间 ℝⁿ 上的 恒等映射，都是 自身到自身 光滑同胚，于是 构成的流形。考虑流形 ℝ 到 ℝ² 的光滑映射，
它在 ℝ² 中的像就是 Cʳ。
我们在 ℝ 中取长度为θ开区间 V=(a, b) ，则 弧f(V)的长度就是所求s。如图1，将V平均分为v个小区间，令x₁=a，xᵥ₊₁=b，这些分割点的像 f(x₁),⋯,f(xᵥ₊₁) 同时也把弧f(V) 分为v个弧长分别为 s₁, ⋯, sᵥ 的小弧度，小弧长度之和就是s。
图1：计算弧长
每个小区间 (xᵢ, xᵢ₊₁)，都对应 导射 df|ₓᵢ ，它是 xᵢ 处切空间 Tℝₓᵢ 到 f(xᵢ) 处的切空间 Tℝ²的线性映射，又因为 Tℝₓᵢ就是ℝ， 所以 Δxᵢ=|xᵢ₊₁-xᵢ| 也就是 Tℝₓᵢ 中的切向量，故 df|ₓᵢ(Δxᵢ) 是 Tℝ²中的切向量，同时也是 Cʳ 在 f(xᵢ) 点 的切向量。
我们知道，当v趋近无穷大时，Δxᵢ趋近0，于是 弧长 sᵢ 趋近 弦长 ǁf(xᵢ₊₁)-f(xᵢ)ǁ，而此时，弦向量 f(xᵢ₊₁)-f(xᵢ) 也将逼近 df|ₓᵢ(Δxᵢ) ，于是有，
进而，
至此，问题关键转变为：求 Tℝ² 中向量 df|ₓ(1) 的长度，这个根据《矢量分析》的知识有，
注：ǁxǁ 表示向量x的长度，也叫模或范数；< x,="" y=""> 表示向量x和y的内积（为了区别于二元坐标向量，本系列一律使用尖括号表示内积）。
于是，
这与我们一开始计算出来的结果一致。
若将上面的流形从 ℝ² 替换为 S²，则光滑映射，
在S² 中的像是 Cʳ，（当然，这里需要规定 r <>
用类似上面的方法，同样可以得到 ⑴，所以关键是：求 TS² 中向量 df|ₓ(1) 的长度，这有，
这与前面的结果相同，故，最终的弧长也和前面完全一样。
实际上，对于任何光滑流形 M 中的任何光滑曲线f: ℝ→M 的弧长s的计算，都可以 推导 出公式 ：
所以，问题的关键是：
求空间 TM 中向量 df|ₓ(1) 的长度 ǁdf|ₓ(1)ǁ。这样就将，流形中任意两点间的任意弧长的度量问题，转变为，对于切空间中切向量长度的度量问题。也即是说，我们只需要在切空间中定义切向量h的度量ǁhǁ，就可以通过 ⑴，在流形中诱导出弧长度量。而根据《矢量分析》的知识知道：
因此，最终的关键是，要给M的每个点x对应的切空间TMₓ 定义一个内积 <⋅, ⋅="">，更具体地说，我们需要定义一个从M到全体内积的光滑映射g，对于每个 x∈M，有 g(x) = <⋅, ⋅="">：TMₓ×TMₓ→ℝ，而由《高等代数》的知识知道，<⋅, ⋅=""> 是TMₓ 上的二重线性函数，并且必须满足：
对称性：
这个映射g就是大名鼎鼎的黎曼度量（riemannian metric），定义了黎曼度量的光滑流形称为黎曼流形（riemannian manifold）。
图2：黎曼度量
我们知道线代空间加入内积就变成了内积空间，实际上所谓加入黎曼度量，就是以光滑的逐点方式，让流形上的每个切空间变成内积空间的过程。
内积可以很多，我们熟悉的的向量点乘：
称为欧氏内积。一遍来说，对于流形M的不同的切空间可以定义不同的内积，只要保证黎曼度量g是光滑映射就可以了，但是我们也可以对所有切空间定义同一个内积，比如：让S²的所有切空间都是欧氏内积，实际上欧氏空间 ℝⁿ 自然就具有 欧氏内积，所以它当然也就是 黎曼流形了。
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弧长的计算公式?
弦中心到弧顶的距离=弧高=半径-圆心到弦的距离。连接弧顶到弦的一个端点，这条直线与圆心到弧顶直线之间的夹角α可以求出：
tanα=(1/2)弦长/弧高
求出α≈?（利用计算器求出，用弧度单位表示）
所以圆心角θ就可以求出：
θ=2×(π-2α)≈?
半径r=(1/2)弦长/sin(θ/2)
所以，弧长=半径×圆心角
圆弧长计算公式是什么？
圆的弧长计算公式为L=n（圆心角度数）× ?π（1）× ?r（半径）/180（角度制）。公式中的L=α（弧度）× r(半径) ?（弧度制）。其中n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长。在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr。
弧长公式的推导：扇形的弧长是圆的其中一段边长，扇形的角度是360度的几分之一，那么扇形的弧长就是这个圆的周长的几分之一，可以得出：扇形的弧长=2πr×角度/360。其中，2πr是圆的周长，角度为该扇形的角度值。
扩展资料圆的弧长其他公式：
圆锥的表面积=圆锥的侧面积+底面圆的面积，圆锥体的侧面积=πRL圆锥体的全面积=πRl+πR?，π为圆周率≈3.14，R为圆锥体底面圆的半径，L为圆锥的母线长 我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线，n圆锥圆心角=r/l*360 360r/l
侧面展开图的圆心角求法：n=360r/R=πRr或2πr=nπr/180 n=360r/R 。S扇=（n/360）πR^2 （n为圆心角的度数,R为扇形所对应圆的半径）。如果题目中有切线，经常用的辅助线是连接圆心和切点的半径，得到直角，再用相关知识解题。
参考资料：—弧长计算公式
弧度数计算公式
弧度的计算方法是：用弧长除以半径。弧度的公式是：弧度=度数*π/180。
弧长除以半径，以l表示弧长，r表示半径，R表示弧度则R=l/r. 得到的是该弧所对圆心角的弧度值。 R=1.5的角度可以这样直接得到：找一个厚度合适的薄圆板。用一根1.5倍半径长度的细线紧贴着绕在圆周上。
线两端所对应的圆心角就是1.5rad. 如果用弧度做单位，已知角度求弧长或已知弧长求角度都很方便。特别是非常小的角度（这在天文上经常用）就等于物体的大小除以距离。
弧度=度数*π/180。比如圆的1/4是90度，则对于的弧度是90*π/180=π /2。其实由于圆弧长短与圆半径之比，不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量。角度以弧度给出时，通常不写弧度单位。
弧度介绍
在数学和物理中，弧度是角的度量单位。它是由国际单位制导出的单位，单位缩写是rad。定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。（即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1）。
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