商集，是集合论的基本概念之一，指由集合和该集合上的等价关系导出的集合。
设X是非空集合A的一个等价关系，若把以A关于X的全部等价类作为元素组成一个新的集合B，则把集合B叫做A关于X的商集合，简称为商集。
商集的定义是什么？
·[商集]
R是A上的[等价关系]，由关于R的所有不同的[等价类]作为元素组成的集合称为A关于R的[商集]，记作A/R
本质上说，集合A关于等价干系R的商集A/R是A上的一个[划分]，等价类就是[块]。即商集A/R中，全部元素相并就等于集合A，任意两个元素相交都为空集。
S={A1,A2,..An}
A1并A2并...并An=A 且 Ai交Aj={} (i><j;i,j=1,2...n)
==>S是A的一个划分，Ai是A的子集，也是划分S的块。
[定理] A上的一个划分S能唯一确定一个等价关系R
这个划分S就是A关于R的商集A/R，S=A/R
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附：
·[二元关系]
设A,B是集合，R是笛卡儿乘积AxB的子集，则称R是A到B的一个二元关系，例如A={x,y},B={a,b},R={(x,a),(x,b),(y,b)}
·[自反的二元关系]
如果对于集合A的每一个元素a都有(a,a)属于二元关系R，则称R为自反的二元关系
·[对称的二元关系]
如果每当(a,b)属于R，就一定有(b,a)属于R，则称R是对称的二元关系
·[传递的二元关系]
如果每当有(a,b),(b,c)属于R，必有(a,c)属于R，则称传递的二元关系
·[等价关系]
R是A上的[二元关系]，如果R是自反的、对称的、传递的二元关系，则称R为A上的[等价关系]。
·[等价类]
设R是A的等价关系，a是A中的任意元素，由A中的所有与a相关的元素组成的集合，称为a关于R的等价类，记作[a]R
·例如：
A={a,b,c,d,e,f}={某大学宿舍的大学生}；
R是A上的同乡关系[不难证明同乡关系是等价关系]，
若a,b是北京人，c是广东人，d,e,f南京人，
则R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}
A中各元素关于R的等价类分别是：
[a]R=[b]R={a,b}
[c]R={c}
[d]R=[e]R=[f]R={d,e,f}
A关于R的商集A/R={[a]R,[c]R,{d}R}={{a,b},{c},{d,e,f}}
帮忙用简洁明了的话语说明一下，在抽象代数中什么是商集？什么是陪集？
商群和陪集是描述群和它的子群的关系的
群里面的元素可以通过他的任意子群进行划分，划分出来以后 只有一个是群，就是那个子群 而其他的就是这个子群的陪集
这些陪集之间也可以将特征元做基于原来群的运算，从而就定义了这些陪集之间的新运算，这也是一个群运算， 所以商群是一些集合元素组成的一个群
离散数学的一道题，问题如图，商集要怎么求
答案的写法是错的。
商集与划分有什么关系？商集是所有的等价类组成的集合。根据等价关系R的定义，A的任意两个子集如果元素个数相同，这两个子集就有关系R。所以等价类是：
含有0个元素的子集有1个，等价类是[Φ]={Φ}；
含有1个元素的子集有4个，等价类是[{1}]={1,2,3,4}=A；
含有2个元素的子集有6个，等价类是[{1,2}]={{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}}；
含有3个元素的子集有4个，等价类是[{1,2,3}]={1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}}；
含有4个元素的子集有1个，等价类是[{1,2,3,4}]={{1,2,3,4}}={A}.
商集P(A)/R={[Φ]，[{1}]，[{1,2}]，[{1,2,3}]，[{1,2,3,4}]，还可以把上面每一个等价类对应的集合的形式代入，展开写
群论的基本概念
定义: 设S是一个非空集合，那么S与自身的笛卡尔积到S自身的映射就叫做S的结合法或运算 即：
这时，S叫做代数系。换句话说，对于一个集合S，如果在这个集合上的某种运算是封闭的( )，那么就称S是这种运算的代数系。
代数系有时候也被称为广群，当一个广群满足某些条件的时候，便可以称作群
1.结合律
设S是具有一个运算的非空集合，如果对S中的任意元素a,b,c，在S上的运算都有：
(ab)c = a(bc)
则称该运算满足结合律。
2.单位元
设S是一个具有运算的非空集合，如果S中存在一个元素e；使得对S中的所有元素a都有：
ea = ae = a
则称该元素e为S中的单位元，通常记作e
3.可逆性
设S是一个具有运算并且有单位元的非空集合，设a是一个S中的元素，如果S中存在一个元素a'使得:
aa' = a'a = e
则称该元素a为S中可逆元，a'称为a的逆元，通常记作
4.群的定义：
设G是一个具有运算的非空集合，称G为一个群，如果G上的运算满足下面三个条件：
(i)结合律，即对 都有：
(ab)c = a(bc)
(ii)单位元，即 使得 都有：
ae = ea = a
(iii)可逆元，即 使得：
aa' = a'a =e
如果群G中的元素个数叫做群G的阶，记位|G|；当|G|为有限数的时，G叫做有限群，否则G叫做无限群。
换句话说，如果在集合G上的运算满足结合律，并且在该运算下G中存在单位元，并且G中的每个元素都有逆元，则称G是一个群。
因此群的单位元是唯一的
5.交换律
设S是一个具有运算的非空集合S，如果 都有：
ab = ba
则称该运算满足交换律。
如果群G中的运算还满足交换律，那么则称这个群是交换群或者阿贝尔(Abel)群。
定理： 设n是正整数，如果 ，则记 ，称为 a 的 n 次幂；特别地，定义 为单位元， 逆元 的n次幂。
性质 ：设a是群G中的任意元素，则对任意的整数m, n, 有:
定义: 设H是群G的一个子集合，如果对于群G的运算，H成为一个群，那么H就叫做群G的子群，记作
Notation: H={e}和H=G都是群G的子群，叫做群G的平凡子群；群G的子群H叫做群G的真子群，如果H不是群G的平凡子群。
子群的判定定理: 设 是群 的一个非空子集，则H是群G的子群的充分必要条件是：
陪集的定义: 设 是群 的子群， 是 中任意元素，那么集合：
叫做 中 的左陪集(相似的，可以定义 中 的右陪集 )， 中的元素叫做 的代表元，如果 ，则 叫做 中 的陪集
需要注意的是，在陪集定义中的 是指 和 在群 上定义的运算
陪集的性质: 设 是群 的子群，则
i)对任意 ，有： ，
ii)对任意 ，有
判断陪集相等: 对任意 的充要条件是 ，相反的如果 ，则 。
商集的定义: 设H是群G的子群，则H在G中不同左陪集组成的新集合
，叫做H在G中的商集，记作G/H,即
而G/H中不同左陪集的个数叫做H在G中的指标，记为[G:H]
商集指标的性质: 设H是群G的子群，则|G|=[G:H]|H|
更进一步，如果 是群 的子群，且 是 的子群，则
，其中的每个指标都是有限的
拉格朗日推论: 设 是有限群 的子群，则子群的阶 是群 的阶 的因数
定义: 设N是群G的子群，称N为群G的正规子群，如果N满足：
i)对任意 ，有
ii)对任意 ，有
iii)对任意 ，有 ，其中
正规子群的性质: 设N是群G的正规子群，G/N是由N在G中的所有左陪集组成的集合，则对于运算(aN)(bN)=(ab)N，G/N构成一个群.
定义: 设 和 都是群， 是 到 的一个映射，若 有：
则称 是 到 的一个同态
需要注意的是，同态可称作保持运算的映射：
如果 是单射，则称 为单同态；如果 是满射，则称 是满同态；如果 是双射，则称 为同构。
如果群G和G'之间存在一个同构映射，则称G和G‘是同构的，记为G G'
当G=G'的时候，同态 叫做自同态；同构 叫做自同构。
同态的性质：
i) ，即同态将单位元映射到单位元
ii) ，即同态将a的逆元映射到 的逆元
iii) 是G'的子群，且f是满同态的充要条件是：f(G)=G'
核子群： 是 的子群，并且 是单同态的充要条件是： ， 便称为核子群
定理： 设 是群G到群G'的同态，则 是G的正规子群，反过来，如果N是群G的正规子群，则映射： 是ker(f)=N的同态，并且s被称为G到G/N的自然同态。
同态分解（由一个同态映射得到一个同构映射）： 设f是群G到群G‘的同态，则存在唯一的G/ker(f)到群f(G)的同构映射 。
并且可以得到一个映射转换关系： ，其中s是群G到商群G/ker(f)的自然同态， 是f(G)到G'的恒等同态。即：
离散数学中商集怎么求，商集是什么形式的
郭敦顒回答：
5
.5
.5
.5
.等
价
关
系
和
序
关
系
【定
义
2
.
3
5】
设A≠Φ，R⊆A×A，
若R是自反的
、
对称的和传递的，
则称R为A上的等价关系。（R⊆A×A——R包含于和等于A×A，不知网络传送后的结果如何，复制时不少符号就不能复制，）
【定
义
2
.
3
6】
设R是非空集合A上的等价关系，
对任意的x∈（属于）A，
定
义[x]R=
{y|y∈A∧（与）xRy}，
称为x关于R的等价类
，
简称x的等价类
，在不混淆的情况下记为[x]。
【例
子2
.
1
1】
给出一个等价关系，并求其每个元素的等价类
。
【定
理
2
.
3
7】
设R是非空集合A上的等价关系，对于任意的x,y∈（属于）A
，有：
1
.
[x]R≠Φ，且[x]R
⊆A（[x]R
包含于和等于A）
2
.若
∈（属于）R，
则[x]R=
[y]R
3
.若
∉R（
不属于R），
则[x]R∩[y]R=Φ
4
.{
[x]R|x∈A
}
=
A。
【定
义
2
.
3
8】设R是非空集合A上的等价关系，
以关于R的全体不同的等价类为
元素的集合称为A关于A的商集
，
记为A
/
R。
【例
子2
.
1
2】
给出一个集合和等价系求商集
。
【定
义
2
.
3
9】
设A为非空集合，
若存在A的一个子集簇C
⊆（包含于和等于）P
(
A
)满足：
1
.Φ∉C（空集不属于C），
2
.对于A的任意子集x,y∈（属于）C，
若x≠（不等于）y，
则x∩（交）y=Φ（空集），
3
.∪（并）C
=
A。则称C为A的一个划分，C中的元素称为划分块
。
【定
义
2
.
4
0】
设A为非空集合，
则
1
.设R为A上的任意一个等价关系，
则商集A
/
R是A的一个划分，
2
.设C是A的任意一个划分，
则定义RC=
{
|x,y∈（属于）A∧（与）x,y属于C的同一划分块}，则RC（C为下脚）是等价关系
。
以上是百度过文库——《离散数学》（nuerhach221贡献于2010-09-15）第三讲集合论中的关于商集方面的内容，文中【例
子2
.
1
2】
给出一个集合和等价系求商集，文库资料中并未具体实例，为了加深对商集的理解更是对提问者的具体回答，编出一个实例说明商集的来法——
设集合A={1，2，3，4，5，6，7，8}，
设R是非空集合A上的等价关系，有：
RC=∪（并）C=C1+C2+C3，和RD=∪（并）D=D1+D2，且
C1={3}，C2={2，5，7}，C3{1，4，6，8}；D1={6，5，1}，D2={2，3，4，7，8}，
∴RC=∪（并）C=C1+C2+C3
={3，2，5，7，1，4，6，8}={1，2，3，4，5，6，7，8}=A
RD=∪（并）D=D1+D2，
={6，5，1，2，3，4，7，8}=
{1，2，3，4，5，6，7，8}=A，
RC和RD是非空集合A上的不同等价关系的全体，它们的元素为<1，2，3，4，5，6，7，8>
∴商集：A/R=A=
{1，2，3，4，5，6，7，8}
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