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什么是初值定理

来源:网络 作者:佚名 时间:04-06 手机版

初值定理,就是求时域初值,由初值定理,转换到频域去求,时域初值相当于信号刚接入,信号刚接入的时候,通常变化比较剧烈,也可以看成信号的频率比较高,所以转到频率域,变成频率趋于无穷大。

初值定理和终值定理

从物理意义上来说,初值定理与终值定理是连续信号的时域与复频域之间的桥梁,反应了两者之间相互转换的规律。

一、初值定理注意事项:

1、初值定理使用条件是要求连续函数f(t)不含冲击函数δ(t)及其各阶导数,或者象函数F(s)为真分数。当象函数为真分式时,根据初值定理可直接由象函数得出函数的初值。

2、若连续函数f(t)中含有冲击函数δ(t)及其各阶导数时,冲击函数项对f(t)的拉氏变换从左侧趋于0到右侧趋于0的变化时会造成影响。

3、利用换路后电路的s域模型和初值定理求初始值,事先不需要考虑电路的电感电流或电容电压是否发生突变,不管是一阶电路还是二阶以上的高阶电路,也不管是何种电源作用于电路,这种方法都适用。

二、终值定理注意事项:

1、终值定理的使用条件是当t趋于无穷时,连续函数f(t)的极限存在,或者说s=0在sF(s)的收敛域内,需结合收敛域的知识。

2、需理解系统函数和极零点分析相关知识。

3、已知f(t)为因果函数,则有:

(1)当收敛域包含S域虚轴时,s=0在sF(s)的收敛域内,满足终值定理使用条件。

(2)当收敛域刚好在虚轴上时,只有阶跃函数ε(t)的终值存在。

(3)当收敛域不包含虚轴时,时域函数一般为发散函数,终值肯定不存在,也就无法使用终值定理。

(4)终值定理的使用条件和初值定理不同,只要终值存在,即收敛域满足使用条件即可。当F(s)为假分数时,同样可以使用定理。

z变换的初值定理和终值定理

Z变换的初值定理和终值定理的定义:对于因果序列x[n], 如果知道它存在z变换X(z), 那么初值定理告诉我们, x[0]等于X(z)在z趋向于无穷大时的极限。 终值定理告诉我们, 如果x[n]在n趋向于无穷大时, 极限存在,即序列的终值存在的话, 那么改终值等于函数(z-1)X(z), z趋向于1的极限。具体的表达式如下图:

此外,二者都有相应的应用条件限制:

1.初值定理是针对因果序列 x [ n ] ,即当 n <0 时, x [ n ] = 0 。它的 z 变换中不包含有 z 的正幂次项。如果 X ( z ) 是有理分式, 则要求它的分子多项式阶次小于等于分母多项式的阶次。

2.在应用终值定理之前,需要判断 X ( z ) 对应的序列 x [ n ]  在 n 趋向于无穷远时, 存在极限。 这要求 X ( z )所有的极点都位于单位圆内, 如果在单位圆上存在极点, 也只能再 z = 1 处存在一个一阶极点。

初值问题里边的初值一般是怎么得来的?

是先求微分方程的通解出来再带入初始条件x=0求出常数得到方程的特解。

有初值才能确定通解的任意常数实际值

y=Asinx+Bcosx+e^x/2

由初值得B+1/2=1以及A+1/2=1

得通解φ(x)=(sinx+cosx+e^x)/2

注意事项

初值定理使用条件是要求连续函数f(t)不含冲击函数δ(t)及其各阶导数,或者象函数F(s)为真分数。当象函数为真分式时,根据初值定理可直接由象函数得出函数的初值。若连续函数f(t)中含有冲击函数δ(t)及其各阶导数时,冲击函数项对f(t)的拉氏变换从左侧趋于0到右侧趋于0的变化时会造成影响。

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