牛顿莱布尼兹公式，通常也被称为微积分基本定理，揭示了定积分与被积函数的原函数或者不定积分之间的联系，牛顿莱布尼茨公式的内容是一个连续函数在区间上的定积分,等于它的任意一个原函数在区间上的增量,牛顿在1666年写的《流数简论》中利用运动学描述了这一公式，1677年，莱布尼茨在一篇手稿中正式提出了这一公式， 因为二者最早发现了这一公式，于是命名为牛顿莱布尼茨公式。
什么是微积分基本定理？
这个定理的推导比较复杂，牵扯到积分上限函数：Φ(x) = ∫f(t)dt（上限为自变量x，下限为常数a）。以下用∫f(x)dx表示从a到b的定积分。
首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。
证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到
Φ(x+Δx) = ∫f(t)dt = ∫f(t)dt + ∫f(t)dt
= Φ(x) + ∫f(t)dt
即
Φ(x+Δx) - Φ(x) = ∫f(t)dt
应用积分中值定理，可以得到
Φ(x+Δx) - Φ(x) = μΔx
其中m0，即
lim Φ(x+Δx) - Φ(x) = 0（当Δx->0）
因此Φ(x)为连续函数
其次要证明：如果函数f(t)在t=x处连续，则Φ(x)在此点有导数，为
Φ'(x) = f(x)
证明：由以上结论可以得到，对于任意的ε>0，总存在一个δ>0，使|Δx|
微积分基本定理
微积分基本定理是曲线函数f(x)的反导数就是面积函数F(x)。微积分基本定理描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系，定理的第一部分称为微积分第一基本定理，表明不定积分是微分的逆运算。
微积分基本定理的特点
微积分基本定理也称为牛顿莱布尼兹公式(NewtonLeibniz formula)，把一个函数的导数与其积分联系到了一起，这个定理可以表述为两个部分，第一部分导数与定积分互为逆运算，第二部分用反导数计算定积分。
微积分基本定理表明，一个变量在一段时间之内的无穷小变化之和，等于该变量的净变化，詹姆斯·格里高利首先发表了该定理基本形式的几何证明，艾萨克巴罗证明了该定理的一般形式，巴罗的学生牛顿使微积分的相关理论得以完善。
微积分四大基本定理是什么?
微积分的基本公式共有四大公式：
1、牛顿-莱布尼茨公式，又称为微积分基本公式。
2、格林公式，把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分，它是平面向量场散度的二重积分。
3、高斯公式，把曲面积分化为区域内的三重积分，它是平面向量场散度的三重积分。
4、斯托克斯公式，与旋度有关。
积分基本公式
1、∫0dx=c
2、∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c
3、∫1/xdx=ln|x|+c
4、∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5、∫e^xdx=e^x+c
6、∫sinxdx=-cosx+c
7、∫cosxdx=sinx+c
8、∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9、∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
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