常见的基本勾股数有3、4、5 , 5、12、13 ,7、24、25 ,9、40、41等。
以上基本的勾股数乘以2即可得到全是偶数的勾股数,例如,6、8、10,10、24、36,14、48、50,18、80、82等。
勾股数:又名毕氏三元数。凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数。
勾股数的神奇规律
我们先来观察一组勾股数:
a、b、c
3、4、5
5、12、13
7、24、25
9、40、41
11、60、61
13、84、85
15、110、111
可以找到什么样的规律呢?
先看第一列数a,我们会发现,全部都是奇数(3、5、7、9、11、13、15),而且还全是连续的奇数,全是以+2、+2、+2的方式往下推进,那么我们假设n为自然数(n≠0),那么第一列数a就可以表示为2n+1(任意偶数+1都为奇数)。再来看第二列数b和第三列数c,发现b全为偶数,c全为奇数,并且c=b+1。之后我们再一组一组地观察,勾股定理就不用再次重申了,但是我们会发现a²=b+c。依靠以上我们整理出的几点,我们可以推算出一个公式,利用这个公式我们可以快速找出与a相匹配的勾股数。
∵a²=b+c,c=b+1
∴a²=b+b+1,即a²=2b+1
那我们如何用这个公式快速找到与之匹配的勾股数呢?
我们以17为例,当a=17时,等式加载为17²=2b+1
17²=2b+1
289=2b+1
288=2b
b =144
∴c=144+1=145
最后验证一下
17²=289
144²=20736
145²=21025
21025-20736=289
∴验证成功!
于是这个公式似乎成为了一个寻找勾股数组的快捷方式,可以说是一个勾股数软件中的快捷键。
可是,为什么会有这样的规律呢?这个规律可靠吗?我们还要继续探索。再观察这些勾股数,我又发现了一个规律:
勾股数3、4、5有3²=9=4+5,而4=21(1+1)
勾股数5、12、13有5²=25=12+13,而12=22(2+1)
勾股数7、24、25有7²=49=24+25,而24=23(3+1)
勾股数9、40、41有9²=81=40+41,而40=24(4+1)
……
接下来我们再观察一组勾股数:
6、8、10
8、15、17
10、24、26
12、35、37
14、48、50
16、63、65
18、80、82
第一列数a全是偶数,且还全是连续的偶数,全是以+2、+2、+2的方式往下推进,用n来表示,即为2n(n≥3)。再看后面两列,发现相同一行后两数都只相差2,所以可以推导出c=b+2,并且通过一组一组地观察,我们发现a²=2(b+c),那么接下来我们开始去往结果星球的航道上:
∵a²=2(b+c),c=b+2
∴a²=2(b+b+2),即a²=2(2b+2)
再∴a²=4b+4
那么我们再次来验证一下推导出的快捷公式:
∵a²=4b+4
∴当a=32时,等式为32²=4b+4
32²=4b+4
1024=4b+4
1020=4b
b=255
∴c=255+2=257
验证一下:
32²=1024
255²=65025
257²=66049
66049-65025=1024
我们似乎又找到了一个a为大于等于6的偶数时,找到其匹配勾股数的快捷方式:当a=2n(n≥3),a²=4b+4,c=b+2时,a、b、c是一组一组勾股数。可是,为什么会有这样的规律呢?
让我们继续观察数字:
勾股数6、8、10有6²=36=2(8+10),而8=3²-1,10=3²+1
勾股数8、15、17有8²=64=2(15+17),而15=4²-1,17=4²+1
勾股数10、24、26有10²=100=2(24+26),而24=5²-1,26=5²+1
……
当然,也并不是所有的勾股数都包含其中,也有一些特例,如下:
12、16、20
15、20、25
18、24、30
21、28、35
……
这一些的规律和之前的不同,这一些的规律是a=3n、b=4n、c=5n为一组勾股数(n≥1)。
还有一些,如下:
20、21、29
20、99、101
48、55、73
60、91、109
虽然大部分勾股数我们都可以用以上的3种规律寻找到,但有一些特例我们依然只能用a²+b²=c²来验证是不是勾股数组。
常见的勾股数有哪些
勾股数是满足a²+b²=c²的正整数。
假设a,b,c均是奇数,则左边=偶数,右边=奇数
左边≠右边,所以a,b,c至少有一个偶数。
假设a,b,c中有两个偶数,一个奇数。则可以推出三个数均为偶数,矛盾。
三个偶数是可以的。例如6,8,10。
但是对于两两互质的勾股数组,必然是两个奇数,一个偶数。
勾股数是什么数?
1、常见组合:
3,4,5 : 勾三股四弦五
5,12,13 : 5·21(12)记一生(13)
6,8,10: 连续的偶数
2、特殊组合:
连续的勾股数只有3,4,5
连续的偶数勾股数只有6,8,10
勾股数,又名毕氏三元数 。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理:直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方(a²+b²=c²)。
扩展资料:
一、公式
a=m,b=(m^2 / k - k) / 2,c=(m^2 / k + k) / 2 ①
其中m ≥3
1、当m确定为任意一个 ≥3的奇数时,k={1,m^2的所有小于m的因子}
2、当m确定为任意一个 ≥4的偶数时,k={m^2 / 2的所有小于m的偶数因子}
二、常见组合套路
1、当a为大于1的奇数2n+1时,b=2n²+2n, c=2n²+2n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数,例如:
n=1时(a,b,c)=(3,4,5)
n=2时(a,b,c)=(5,12,13)
n=3时(a,b,c)=(7,24,25)
2、当a为大于4的偶数2n时,b=n²-1, c=n²+1
也就是把a的一半的平方分别减1和加1,例如:
n=3时(a,b,c)=(6,8,10)
n=4时(a,b,c)=(8,15,17)
n=5时(a,b,c)=(10,24,26)
n=6时(a,b,c)=(12,35,37)
参考资料来源:百度百科-勾股数
勾股数顺口溜
勾股数指的是组成一个直角三角形的三条边长,三条边长都为正整数,例如直角三角形的两条直角边为a和b,斜边为c,那么两条直角边a的平方+b的平方等于斜边c的平方,那么这一组数组就叫做勾股数。一般把较短的直角边称为勾,较长直角边称为股,而斜边则为弦。
结合勾股数创造了勾股定理,是为了解不定方程的所有整数解而创造的定律。勾股定理是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。
扩展资料
勾股数的特点:
1、满足勾股数的直角三角形的两条直角边为一个奇数,一个偶数,同时斜边为奇数。
2、连续的勾股数只有3,4,5这三个正整数。
3、连续的偶数勾股数只有6,8,10这三个整数。
参考资料来源:百度百科-勾股数
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股数顺口溜为勾三股四弦五,5月12记一生,连续偶数6,8,10,八月十五在一起。
勾股数顺口溜
3,4,5:勾三股四弦五
5,12,13:5月12记一生(13)
6,8,10:连续的偶数
8,15,17:八月十五在一起(17)
特殊勾股数:
连续的勾股数只有3,4,5
连续的偶数勾股数只有6,8,10
勾股数的含义勾股数,又名毕氏三元数。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理:直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方(a²+b²=c²)。
勾股定理的含义勾股定理是一个基本的几何定理,指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形,并且直角边中较小者为勾,另一长直角边为股,斜边为弦,所以称这个定理为勾股定理,也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,也是数形结合的纽带之一。在中国,周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。在西方,最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派,他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。
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