球坐标系：球坐标系是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。球坐标系在地理学、天文学中都有着广泛应用。学术界内，关于球坐标系的标记有好几个不同的约定。按照国际标准化组织建立的约定，径向距离、天顶角、方位角。这种标记在世界各地有许多使用者。通常，物理界的学者也采用这种标记。而在数学界，天顶角与方位角的标记正好相反。
球的坐标范围？
范围如下：
球坐标系的三个参数为ρ，θ，φ。其中θ和φ（你的问题上的ψ）有时候因为习惯不同，使用的会有所不同。
这里按照同济的《高等数学》里θ和φ的意思来说明，也是最常见的。（如果和描述不一样，反过来即可。
θ是点在xOy平面上的投影与原点的连线和x轴正方向所成夹角，也就是一般说的极坐标的θ，取值范围为[0, 2π)或[0, 2π]。
φ（问题所问的）是点与原点所成连线和z轴正半轴所成夹角，取值范围为[-π, π] (必须全闭，否则顶点取不到)。
球坐标系是三维坐标系的一种，用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置，它以坐标原点为参考点，由方位角、仰角和距离构成。
定义：在数学里，球坐标系（英语：Spherical coordinate system）是一种利用球坐标。
表示一个点 p 在三维空间的位置的三维正交坐标系。图1显示了球坐标的几何意义：原点到 P 点的距离 r ，原点到点 P 的连线与正 z-轴之间的天顶角。
以及原点到点 P 的连线，在 xy-平面的投影线，与正 x-轴之间的方位角。
例解：假设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数(r，θ，φ)来确定，其中r为原点O与点P间的距离；θ为有向线段OP与z轴正向的夹角；φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到OM所转过的角，这里M为点P在xOy面上的投影。
这样的三个数r，θ，φ叫做点P的球面坐标，显然，这里r，θ，φ的变化范围为r∈[0,+∞)，θ∈[0, π]， φ∈[0,2π] ，如图1所示。
当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:r = 常数，即以原点为心的球面；θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；φ= 常数，即过z轴的半平面。
什么是球坐标，球坐标有几个参数？
球坐标是：以原点为球心的球面族，以z轴为轴的半平面族，和以原点为顶点的圆锥面族组成的坐标系，有三个参数，一般用希腊字母表示，
\rho是点到原点的距离，
\thete是点和原点连线与z轴的夹角，
\phi是点和原点连线在xy平面的投影与x轴的夹角。
地球的经纬度就是球面坐标。
什么是数学的球坐标？
看下面的三重积分变量变换过程，可以看到球坐标是以(r,φ,θ)为点坐标的坐标系。其中，r=常数, φ=常数, θ=常数变换到xyz直角坐标系中，r=常数是以原点为中心的球面，φ=常数是以原点为顶点, z轴为中心轴的圆锥面，θ=常数是过z轴的半平面.
什么叫做球面坐标系？
设P（x，y，z）为空间内一点，则点P也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点P间的距离，θ为有向线段与z轴正向所夹的角，φ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里M为点P在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点P的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为
r∈[0,+∞),
φ∈[0, 2π],
θ∈[0, π] .
当r,θ或φ分别为常数时,可以表示如下特殊曲面:
r = 常数，即以原点为心的球面；
θ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；
φ= 常数，即过z轴的半平面。
球坐标系下的微分关系:
在球坐标系中，沿基矢方向的三个线段元为：
dl(r)=dr, dl(θ)=rdθ, dl(φ)=rsinθdφ
球坐标的面元面积是：
dS=dl(θ)× dl(φ)=r2sinθdθdφ
体积元的体积为：
dV=dl(r)×dl(θ)×dl(φ)= r2sinθdrdθdφ
对于球壳转动惯量：
设以z坐标为轴的转动惯量J；球壳面积密度ρ；回转半径Rsinθ；
dJ=ρ(Rsinθ)2 dS
球壳半径为常数，dS =R2sinθdθdφ
J=2∫02∏∫0∏/2 ρ(Rsinθ)2 R2sinθdθdφ ;取半壳积分
=2ρR4∫02∏∫0∏/2 sinθ3 dθdφ
=8/3 ρ∏R4
ρ=球壳质量M/球壳面积S
S=2∫02∏∫0∏/2 R2sinθdθdφ=4∏R2
把ρ=M/(4∏R2)代入得
得 J=2/3 MR2
什么是球坐标系?
你可以去看看高等数学教材，里面有严格定义的：
球坐标是一种三维坐标
设M（x，y，z）为空间内一点，则点M也可用这样三个有次序的数r，φ，θ来确定，其中r为原点O与点M间的距离，φ为有向线段与z轴正向所夹的角，θ为从正z轴来看自x轴按逆时针方向转到有向线段的角，这里P为点M在xOy面上的投影。这样的三个数r，φ，θ叫做点M的球面坐标，这里r，φ，θ的变化范围为
0 ≤ r < +∞,
0 ≤φ≤ π,
0 ≤θ≤ 2π.
r = 常数，即以原点为心的球面；
φ= 常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面；
θ = 常数，即过z轴的半平面。
球坐标系怎么变换？
球坐标变换公式是：
球坐标系(r，θ，φ)与直角坐标系(x，y，z)的转换关系:
x=rsinθcosφ。
y=rsinθsinφ。
z=rcosθ。
反之，直角坐标系(x，y，z)与球坐标系(r，θ，φ)的转换关系为:
r= sqrt(x*2 + y*2 + z*2)。
φ= arctan(y/x)。
θ= arccos(z/r)。
原理：
地理坐标系用两个角值，纬度与经度，来表示地球表面的地点。正如二维直角坐标系专精在平面上，二维球坐标系可以很简易的设定圆球表面上的点的位置。在这里，我们认定这圆球是个单位圆球；其半径是1。通常我们可以忽略这圆球的半径。在解析旋转矩阵问题上，这方法是非常有用的。
用来描述与分析拥有球状对称性质的物理问题，最自然的坐标系，莫非是球坐标系。例如，一个具有质量或电荷的圆球形位势场。两种重要的偏微分方程式，拉普拉斯方程与亥姆霍兹方程，在球坐标里，都可以成功的使用分离变数法求得解答。
这种方程式在角部分的解答，皆呈球谐函数的形式。球坐标的概念，延伸至高维空间，则称为超球坐标(n-sphere)。
关于球坐标系和柱坐标系
球坐标是通过两个角一个长度来确定坐标的，分别是该点（设为P）垂直投影在xoy平面上的直线（OP'）于x轴正方向的夹角（这里要注意是从其x轴向y轴正向旋转，即解决了顺时逆时的问题，一般教科书都表明了方向），和该线（OP）于Z轴正方向的夹角，和OP的长度。
而柱坐标其实是极坐标的衍生，就是把z当做平面处理，剩余XY的部分用极坐标来表示。
你所说的顺时针逆时针是一个问题，但在数学分析的课本上一般都是标有方向的（且有文字说明，我记得是x正向向y正向），所以也就确定了顺时还是逆时。
关于球坐标系
球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系
x=rsinθcosφ.
y=rsinθsinφ.
z=rcosθ.
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