纯粹的热传导或扩散方程就是一个laplace算子外加源项,所以只有二阶导,表示扩散项;一阶导表示对流项,即速度梯度,表示因对流引起的变化,比如在对流传质问题中二者都有,对流项就是考虑了物质流入流出而带入带走的物质,能量,所以也是由守恒定律得出的,在数值求解的时候仅由上游决定,所以不用想扩散项一样在每一个步长内联合求解。
传热学导热微分方程中,这个扩散项怎么理解。就是画红线的。用X轴方向热流量对X求偏导再乘以dx啥意思
首先,导热微分方程的推导是在非稳态条件下 t(x, y, z, τ) 进行的,此时物体内部沿x(或y、或z)的热流密度q处处不等,故此时热流密度q对x(或y、或z)的偏导不为零(稳态条件下为零)。在一微小距离dx内认为热流密度q的变化率是一个定值,等于在x(或y、或z)处热流密度q的变化率,其值为∂q/∂x。故在x+dx处的热流密度为 q+(∂q/∂x)×dx。
(也可以看成是 Φₓ 在 x=x 处的一阶泰勒展开但略去了余项)
热传导方程
齐次热传导方程 :
非齐次热传导方程 :
当物体体积很大,考虑时间很短和较小范围内的温度变化情况,边界条件所产生的影响可以忽略,这时就不放吧考察的物体视为充满整个空间,而定解问题就成为 柯西问题 ,此时初始条件为
扩散方程
称为 扩散系数 ,总取正值.
扩散方程为
如果 是常数,记 ,扩散方程就化为与热传导方程完全相同的形式.
初边值问题:
为正常数.
Sol: 分离变量法
令
代入方程有
于是
只有两边均等于常数时才成立. 令此常数为 ,则有
由边界条件得
当 时,只有平凡解
当 时,
利用边界条件 得 ,利用第二个边界条件知
为使 为非平凡解, 应满足
即 应是下述超越方程的正解:
令
则变为
可知有无穷多个正根 ,满足 .
及相应的固有函数
同样可以解得
于是得到一列可分离变量的特解
用叠加原理构造级数形式的解
又
于是得到
于是得到初边值问题
的形式解为
设 是定义在 上的函数,它在 上有异界连续导数,则在 中 可以展开为傅里叶级数
并且
该积分表达式称为 的 傅里叶积分 .
称 为 的 傅里叶变换 ,记为
称 为 的 傅里叶逆变换 ,记为 .
当 在 上连续可导且绝对可积时,它的傅里叶变换存在,且逆变换等于 .
性质 1 线性变换
其中 , 为函数.
如果对给定的 ,当 时,
存在,则称 为 与 的 卷积 ,记为 . 显然,当 为绝对可积时, ,即卷积是可以交换的.
性质 2
和 的卷积的傅里叶变换等于 和 的傅里叶变换的乘积,即
性质 3
和 乘积的傅里叶变换等于 和 的傅里叶变换的卷积乘以 ,即
性质 4
如果 都是可以进行傅里叶变换的,而且当 时, ,则成立
性质 5
如果 及 都可以进行傅里叶变换,那么
热传导方程柯西问题的求解
解为
也成为泊松公式.
非齐次热传导方程的柯西问题
解为
由叠加原理可以得到柯西问题的解为
的解为
第一类边值问题中:
热传导方程的初边值问题
在区域 上的解是唯一的,而且连续地依赖于边界 上所给定的初始条件及边界条件.
对任意给定的 ,热传导方程的初边值问题在 上的解是唯一的,且连续地依赖于初值 以及边界条件中的函数 .
柯西问题
在有界函数类中的解是唯一的,而且连续依赖于所给的初始条件.
假设初始函数 满足 则当 趋于无穷时,问题
的唯一的经典解指数衰减地趋于零,确切地说,当 时,对一切 ,
其中 为一个与解无关的正常数.
这个唯一经典解是
如果 收敛,则称 ,并记
设 是由解连续函数,且 ,则柯西问题
的唯一经典解具有如下的渐近性态:对一切 ,当 时,一致地连续
其中 为一个仅与 及 有关的正常数.
热传导方程式的介绍
热传导方程式(或称热方程)是一个重要的偏微分方程,它描述一个区域内的温度如何随时间变化。热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用方程式表达,其中u =u(t, x, y, z) 表温度,它是时间变量 t 与 空间变量 (x,y,z) 的函数。 /是空间中一点的温度对时间的变化率。 uxx, uyy 与 uzz 温度对三个空间坐标轴的二次导数。k决定于材料的热传导率、密度与热容。如果考虑的介质不是整个空间,则为了得到方程唯一解,必须指定 u 的边界条件。如果介质是整个空间,为了得到唯一性,必须假定解的增长速度有个指数型的上界,此假定吻合实验结果。
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