三角形垂心的向量关系：若点P是三角形ABC的垂心，那么PA乘以PB=PB乘以PC=PA乘以PC。
三角形的其他心与向量的关系：
1、若点P是三角形ABC的重心，那么PA加PB加PC等于0。
2、若aOA等于bOB加cOC,则O为角A的旁心，角A及角B，C的外角平分线的交点。
3、若点P是三角形ABC的内心，则aPA加bPB加cPC等于0，其中abc是三边。
4、若点P是三角形ABC的外心 ，则PA的模的平方等于PB的模的平方等于PC的模的平
三角形垂心的向量性质及证明是怎么样的？
三角形垂心的向量性质及证明是OA^2+BC^2=OB^2+CA^2OA^2+(OC-OB)^2=OB^2+(OA-OC)^2OA^2+OC^2-2OC*OB+OB^2=OB^2+OA^2-2OA*OC+OC^2-2OC*OB=-2OA*OCOC*OB=OA*OCOC*OB=OC*OAOC*OB-OC*OA=0OC*(OB-OA)=0OC*AB=0OC丄AB，同理OA丄BC，OB丄AC，所以O是三角形垂心。
三角形垂心的定理证明
锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形外。三角形的垂心是它垂足三角形的内心，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
△ABC中，有六组四点共圆，有三组（每组四个）相似的直角三角形。H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（并称这样的四点为一—垂心组）。
垂心的向量结论是什么?
垂心的向量结论是：三角形ABC内一点O，向量OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。
三角形的三条高线所在直线的交点叫作三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外。三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。
垂心
三角形垂心H的垂足三角形的三边，分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线。三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。（垂心伴随外接圆，必有平行四边形）推论（垂心余弦定理）：锐角三角形ABC的垂心为H，则AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R。
垂心是从三角形的各个顶点向其对边所作的三条垂线的交点。锐角三角形垂心在三角形内部。直角三角形垂心在三角形直角顶点。钝角三角形垂心在三角形外部。三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆。
百度百科——垂心
三角形的垂心与向量的联系
这是我整理的一些内容，希望对你有所帮助：
【一些结论】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(内积）
3 若P是△ABC的内心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三边）
4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 则直线AP经过△ABC内心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 经过垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 经过重心
8.若aOA=bOB+cOC,则0为∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】
1.
O是三角形内心的充要条件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量，
延长CO交AB于D，根据向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因为OD与OC共线，所以可设OD=kOC,
上式可化为(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，
所以只能有：ka+kb+c=0，aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。
必要性：
已知O是三角形内心,
设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，
∵O是内心
∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE
过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，
所以四边形OMAN是平行四边形
根据平行四边形法则，得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
2.
已知△ABC 为斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一个定点,动点P满足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
求P点轨迹过三角形的垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根据正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0，
即AP•BC=0，
P点轨迹过三角形的垂心
3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP与AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共线
根据正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP与AB+AC共线
AB+AC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，
∴点P过三角形重心。
4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0，
所以向量AP与向量BC垂直，
P点的轨迹过垂心。
5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各为AB、AC方向上的单位长度向量，
向量AB与AC的单位向量的和向量，
因为是单位向量，模长都相等，构成菱形，
向量AB与AC的单位向量的和向量为菱形对角线，
易知是角平分线，所以P点的轨迹经过内心。
三角形垂心的向量性质及证明分别是？
OA^2+BC^2=OB^2+CA^2
OA^2+(OC-OB)^2 = OB^2+(OA-OC)^2
OA^2+OC^2-2OC*OB+OB^2 = OB^2+OA^2-2OA*OC+OC^2
-2OC*OB = -2OA*OC
OC*OB=OA*OC
OC*OB=OC*OA
OC*OB - OC*OA=0
OC*(OB-OA)=0
OC*AB=0
OC丄AB，
同理 OA丄BC，OB丄AC，
所以 O 是三角形垂心 。
三角形的垂心定理：
在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
还可以通过向量证明。
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